Transformée de Legendre \(f^*\) de \(f\)
Fonction définie par : $$f^*:y\mapsto\sup_x\underbrace{\langle{x,y}\rangle -f(x)}_{=:\,\ell_x}$$
- si \(x\in\operatorname{dom} f\), alors \(\ell_x\) est affine et continue
- inégalité importante : \(f(x)+f^*(y)\geqslant\langle{x,y}\rangle \)
- on dit que \(x\) et \(y\) sont conjugués si on est dans le cas d'égalité : \(f(x)+f^*(y)=\langle{x,y}\rangle \)
- dans ce cas, on a des inclusions dans les Sous-différentielle \(y\in\partial f(x)\) et \(x\in\partial f^*(y)\)
- cela donne aussi \((f^*)^*=f\)
Exercices
